• 2025考研復試標準班
• 26考研全科上岸規劃營「擇校▪規劃▪備考」
• 2026考研專業課復習資料「真題▪筆記▪講義▪題庫」

專題二不等式證明

不等式證明是真題中常考大題的地方，其中2014年的字母不等式的證明題有不少同學就找不到思路。下面我們梳理不等式證明的基本題型以及處理思路。

1.基本思路

考慮一道題：證明f(x)>g(x),x屬于(a,b)。如何證明呢?能否帶入驗證呢?即便有愚公移山的精神也不行!因為太行王屋二山再大，體積質量畢竟有限;而(a,b)中的實數確是真真切切的無窮多，所以帶入驗證的工作成了貨真價實的"子子孫孫無窮匱也"。那有什么可行的思路呢?注意到，待證不等式可恒等變形為f(x)-g(x)>0,如果令F(x)=f(x)-g(x),進一步可化為F(x)>0,x屬于(a,b)。如何證明一個函數在一個范圍恒大于零呢?僅需證明其在該范圍的最小值大于或等于0即可。而找一個函數在一個區間(考慮(a,b)對應的閉區間)上的最小值應該不難。

好，我們由此得到了證明函數不等式的基本思路：移項構造輔助函數，結合單調性證明該函數的最小值大于等于零即可。具體解題有什么步驟嗎?基本步驟如下：1)移項構造輔助函數;2)計算區間端點處的函數值(常有一個端點處的函數值為0，不妨設左端點的函數值為0);3)僅需證明函數單增即可，也即證明導函數大于或等于0對于開區間成立。

2.若干變形

以上是函數不等式證明的基本思路，真題中有什么變形呢?首先，如果待證的不等式形式較復雜，得考慮先化簡：若不等式兩邊有公因子，考慮約去公因子(考慮公因子的正負對不等號的影響);若待證不等式有分母，考慮去分母;若待證不等式是指數式，考慮不等號兩邊取對數。

其次，在第2)個計算步驟中，若端點函數值不存在，那怎么辦?用極限代替即可。再者，"僅需證明函數單增"只是咱們的美好愿望，如果實現不了呢?從圖像上看，已知函數在區間左端點的函數值為零，如果函數單增，那么函數在整個區間的圖像確實是位于x軸的上方;而如果函數如果不是單增，那圖像也有可能位于x軸的上方。換言之，函數單增僅是不等式成立的充分條件。不必擔心，若愿望落空，回到最基本的思路即可：證明函數在區間上的最小值大于等于零即可。

3.字母不等式

以去年的那道證明題為例，要證的是不等式，但不含x而含有字母a，b，如何處理?以往的真題中出現過x1、x2這些非x的字母。這類不等式統稱字母不等式。處理方式出乎意料的簡單：把其中一個字母看成常量，另一個字母看成變量(或者替換為x)，字母不等式就化為函數不等式，進而按照函數不等式的處理思路處理即可。趙本山的小品中老虎把烏龜看成穿上馬甲的蛇鬧出了笑話，咱們現在把字母不等式看成穿上馬甲的函數不等式不僅不是笑話，而且是正確的處理方式。

4.積分不等式

積分不等式長得比較嚇人，但我要套用毛爺爺那句話：一切積分不等式都是紙老虎!這不是盲目自信，而是事實確是如此。積分不等式也屬函數不等式，只不過穿上了積分這個馬甲。處理思路是函數不等式的思路結合積分的性質。