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中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(北京)2025年碩士研究生入學(xué)考試《高等代數(shù)(821)》考試大綱與參考書(shū)目

考試性質(zhì)

本門(mén)課程考試的內(nèi)容包括行列式、矩陣、線(xiàn)性方程組、多項(xiàng)式理論、二次型、線(xiàn)性變換和線(xiàn)性空間等。要求考生全面系統(tǒng)地理解高等代數(shù)的基本概念和基本理論，熟練掌握高等代數(shù)的基本思想和基本方法，評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)是使高校優(yōu)秀本科畢業(yè)生能達(dá)到及格或及格以上水平。

考試方式和考試時(shí)間

1. 答卷方式：閉卷、筆試

2. 答卷時(shí)間：180分鐘

試卷結(jié)構(gòu)

滿(mǎn)分150分，題型為填空題、選擇題、計(jì)算題、證明題。

考試內(nèi)容和考試要求

考查要點(diǎn)

1. 多項(xiàng)式

一元多項(xiàng)式環(huán)、帶余除法、整除、最大公因式、輾轉(zhuǎn)相除法，互素的充要條件，不可約多項(xiàng)式、因式分解的唯一性和標(biāo)準(zhǔn)分解式、重因式、多項(xiàng)式函數(shù)、根、重根;復(fù)(實(shí))系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解;代數(shù)基本定理;有理系數(shù)多項(xiàng)式的有理根、艾森斯坦因判別法。

2. 行列式

排列、行列式定義、性質(zhì)和計(jì)算、按行展開(kāi)和拉普拉斯展開(kāi)定理、克萊姆法則。

3. 線(xiàn)性方程組

n維向量空間、向量組的線(xiàn)性相關(guān)性及其基本性質(zhì)、極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組、秩;線(xiàn)性方程組有解的判別定理;線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)、基礎(chǔ)解系、解空間、求解的方法。

4. 矩陣

矩陣的運(yùn)算及性質(zhì);矩陣的秩;矩陣的初等變換與初等矩陣;矩陣在初等變換下的

標(biāo)準(zhǔn)形;矩陣的逆、伴隨陣、線(xiàn)性方程組的矩陣形式;行列式乘積定理;分塊矩陣;

分塊矩陣運(yùn)算;矩陣的跡、方陣的多項(xiàng)式。

5. 二次型

二次型的矩陣表示;二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與合同變換;復(fù)數(shù)域與實(shí)數(shù)域上二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形;慣性定理;實(shí)二次型、實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的充分必要條件。

6. 線(xiàn)性空間

線(xiàn)性空間的概念;一些重要的線(xiàn)性空間實(shí)例，基、維數(shù)與坐標(biāo);基變換與坐標(biāo)變換。

7. 線(xiàn)性變換

線(xiàn)性映射與線(xiàn)性變換的概念、運(yùn)算;線(xiàn)性變換的矩陣表示;線(xiàn)性變換(矩陣)的特

征多項(xiàng)式、特征值與特征向量;線(xiàn)性變換的值域與核;特征子空間;線(xiàn)性變換的不

變子空間;線(xiàn)性變換的矩陣為對(duì)角矩陣的充要條件。

8. λ-矩陣

λ-矩陣在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形、不變因子、行列式因子;矩陣相似的條件;數(shù)字矩陣或線(xiàn)性變換的不變因子、初等因子、Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。

9. 歐幾里得空間

向量?jī)?nèi)積;歐氏空間的概念及性質(zhì)，度量矩陣;向量的長(zhǎng)度、夾角、正交、距離;

標(biāo)準(zhǔn)正交基;歐氏空間的子空間的正交補(bǔ)，歐氏空間的同構(gòu);正交變換與正交矩陣

的等價(jià)條件，對(duì)稱(chēng)變換的概念與性質(zhì);用正交變換化實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣為對(duì)角陣的方法。

參考書(shū)目

《高等代數(shù)》(第五版)，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系前代數(shù)小組編，王萼芳、石生明修訂，高等教育出版社。