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集美大學2021年碩士研究生入學考試初試自命題考試大綱

考試科目代碼：[622]

考試科目名稱：數(shù)學分析

一、考核目標

(一)考查考生對數(shù)學分析的基本概念、基本理論、基本方法和基本計算的理解和掌握程度。

(二)考查考生的基本計算能力，邏輯推理能力，抽象思維能力，分析和解決實際問題的綜合能力。

二、試卷結(jié)構(gòu)

(一)考試時間：180分鐘，滿分：150分。

(二)題型結(jié)構(gòu)

1、計算題：6小題，每小題12分，共72分。

2、討論題：2小題。每小題15分，共30分。

3、證明題：4小題，每小題12分，共48分。

三、答題方式

閉卷筆試。

四、考試內(nèi)容

(一)一元函數(shù)微積分學部分，35%(52分)

考試內(nèi)容：

1、分析引論

函數(shù)初等特性;數(shù)列、函數(shù)極限分析定義;左、右極限;無窮小與無窮大定義;無窮小的比較;極限一般性質(zhì)、四則運算性質(zhì);極限存在判定準則;求極限方法;函數(shù)的連續(xù)性;間斷點及分類;函數(shù)一致連續(xù)性及判定法;閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)4條性質(zhì);上(下)確界、上(下)極限、聚點概念;實數(shù)完備性的7個等價描述。

2、一元函數(shù)微分學

導數(shù)概念及幾何意義;導數(shù)四則、復合、反函數(shù)運算法則;隱函數(shù)、參量函數(shù)求導方法;微分概念及幾何意義;微分四則運算法則;高階導數(shù);高階微分;求導數(shù)或微分;Fermat引理;Rolle、Lagrange和Cauchy中值定理;兩種余項形式的Taylor公式;洛必塔法則;函數(shù)單調(diào)性、凹凸性及判定法;函數(shù)極值點、拐點及判定法;曲線漸近線與作圖。

3、一元函數(shù)積分學

原函數(shù)概念;不定積分及性質(zhì);定積分概念;可積性判定準則;可積的充分條件;定積分性質(zhì);定積分中值定理;變限積分函數(shù)及性質(zhì);原函數(shù)存在性;微積分學基本定理;換元積分法;分部積分法;不定積分計算法;定積分計算法;定積分在幾何上應用。

考試要求：

1、理解變量極限及連續(xù)的概念，會判定極限的存在性，掌握求極限的基本方法，掌握函數(shù)一致連續(xù)性的論證方法，掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)，理解上(下)確界概念，了解實數(shù)完備性的等價命題。

2、理解導數(shù)和微分的概念，掌握導數(shù)與微分、高階導數(shù)的計算方法，掌握微分中值定理、Taylor公式及其應用，會用導數(shù)判定函數(shù)的性態(tài)。

3、理解不定積分、定積分的概念，了解可積性判定準則，掌握微積分學基本公式及其應用，掌握定積分的性質(zhì)和計算方法，會用微元法解決實際問題。

(二)多元函數(shù)微積分學部分，35%(53分)

考試內(nèi)容：

1、多元函數(shù)微分學

多元函數(shù)概念;重極限與累次極限;重極限存在性判定與求法;多元函數(shù)連續(xù)性及性質(zhì);偏導數(shù)、方向?qū)��?shù)與全微分概念;一階全微分形式不變性;高階偏導數(shù);二元函數(shù)微分中值定理;偏導數(shù)計算法;鏈鎖法則;隱函數(shù)(組)存在性及求導法;偏導數(shù)在幾何上應用;多元函數(shù)極值及判定法;條件極值與Lagrang乘數(shù)法;多元函數(shù)最大(小)值的確定。

2、多元函數(shù)積分學

二、三重積分概念與性質(zhì);重積分累次積分法、極坐標法、截面積分法、柱面坐標法、球面坐標法、一般變量替換法;兩類曲線積分概念、性質(zhì)及聯(lián)系;兩類曲線積分計算法;Green公式;兩類曲面積分概念、性質(zhì)及聯(lián)系;兩類曲面積分計算法;奧高公式;Stokes公式;平面曲線積分與路徑無關(guān)的等價命題;各類積分在幾何上的應用;場論初步(梯度場、散度場、旋度場)。

考試要求：

1、會判定重極限的存在性，理解多元函數(shù)連續(xù)、偏導數(shù)、全微分、方向?qū)��?shù)的概念及相互聯(lián)系，掌握偏導數(shù)的計算方法，掌握微分學在幾何上的應用，掌握多元函數(shù)極值的判定法，會用Lagrang乘數(shù)法解決實際問題。

2、理解重積分、曲線積分、曲面積分的概念及性質(zhì)，掌握二重、三重積分的基本計算方法，掌握兩類曲線積分、曲面積分的相互聯(lián)系和計算方法，掌握Green公式、奧高公式及其應用，了解Stokes公式及場論。

(三)無窮級數(shù)論與反常積分部分，30%(45分)

考試內(nèi)容：

1、無窮級數(shù)論

常數(shù)項級數(shù)斂散性及性質(zhì);正項級數(shù)審斂法;任意項級數(shù)審斂法;絕對收斂與條件收斂;函數(shù)項級數(shù)相關(guān)概念;函數(shù)列(級數(shù))一致收斂性及判別法;函數(shù)列(級數(shù))的分析運算性質(zhì);冪級數(shù)收斂半徑;Abel第一、第二定理;冪級數(shù)分析性質(zhì);5個重要Maclaurin展開式;Riemann引理;Fourier級數(shù)的收斂性定理;Fourier變換;函數(shù)展開成冪級數(shù);函數(shù)展開成Fourier級數(shù)或正弦、余弦級數(shù);級數(shù)求和問題。

2、反常積分與含參變量積分

兩類反常積分斂散性及性質(zhì);反常積分審斂法;絕對收斂與條件收斂;兩類反常積分的聯(lián)系;含參變量積分(反常積分)函數(shù)的概念;含參量積分函數(shù)的分析性質(zhì);含參量變限積分函數(shù)的求導法則;含參變量反常積分一致收斂性及判別法;含參量反常積分函數(shù)分析運算性質(zhì);反常積分(含參變量積分)計算法。

考試要求：

1、理解絕對收斂和條件收斂概念，掌握常數(shù)項級數(shù)的各種審斂法，理解函數(shù)列(級數(shù))一致收斂性概念，掌握一致收斂判別法，掌握函數(shù)列(級數(shù))分析運算性質(zhì)，會將函數(shù)展開成冪級數(shù)或Fourier級數(shù)，掌握冪級數(shù)求和方法。

2、理解兩類反常積分斂散性的概念與性質(zhì)，掌握反常積分的各種審斂法，會計算簡單的反常積分，理解含參變量積分(反常積分)函數(shù)的概念及分析性質(zhì)，掌握含參變量反常積分一致收斂判別法。

五、主要參考書目

(一)歐陽光中等編：《數(shù)學分析》(第四版)，高等教育出版社，2018年版。(或歐陽光中等編：《數(shù)學分析》(第三版)，高等教育出版社，2007年版。)

(二)劉玉璉等編：《數(shù)學分析講義》(第五版)，高等教育出版社，2011年版。

(三)數(shù)學分析其它本科通用教材。