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長春理工大學數學研究生入學初試

《數學分析》考試大綱

一、總體要求

考生應按本大綱的要求，了解或理解數學分析中的函數、極限和連續、實數的基本理論、一元函數微分學、一元函數積分學、無窮級數、多元函數微積分學的基本概念與基本理論;學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯系;應具備有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想象能力;能運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明。

二、教材

《數學分析》(上、下)，歐陽光中等，復旦大學數學系編(第三版)，高等教育出版社。

三、考試內容

(一)函數、極限和連續

(1)理解函數的概念。學會函數的定義域、表達式及函數值。會求分段函數的定義域、函數值，并會作出簡單的分段函數的圖像。理解和掌握函數的單調性、奇偶性、有界性、周期性，會判斷函數的類型。理解和掌握函數的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程。掌握基本初等函數的簡單性質及圖像。掌握初等函數的概念。會建立簡單實際問題的函數關系式

(2)理解極限的概念，能根據極限的概念分析函數的變化趨勢。會求函數在一點處的左、右極限，理解函數在一點處極限存在的充分必要條件。理解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質、無窮小量與無窮大量的關系。會進行無窮小量的階的比較。會運用等價無窮小量代換求極限。熟練掌握用兩個重要的極限求極限的方法。

(3)理解函數在一點連續與間斷的概念，掌握判斷函數在一點的連續性，理解函數在一點連續與極限存在的關系。會求函數的間斷點及確定其類型。掌握在閉區間上連續函數的性質，會運用介值定理推證一些簡單命題。理解初等函數在其定義區間上的連續性，并會利用連續性求極限。

(二)實數完備性理論的知識

了解實數系的構造理論。理解實數完備性定理的各個定理：區間套定理 柯西收斂準則，有限覆蓋定理，聚點定理，確界原理，單調有界性定理和這些定理的等價性。理解閉區間上連續函數性質的證明。了解實數完備性定理在證明數學命題中的應用。

(三)一元函數微分學

(1)理解導數的概念及其幾何意義，可導性與連續性的關系，會運用定義求函數在一點處的導數。會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則及復合函數和反函數求導方法。掌握隱函數的求導法、對數求導法以及由參數方程確定的函數的求導方法，會求分段函數的導數。理解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。理解函數和微分概念，掌握微分法則，掌握微分與可導的關系，會求一階微分

(2)理解羅爾中值定理、格朗日中值定理、柯西中值定理它們的幾何意義，會用它們證明根的存在性和簡單的不等式。熟練掌握用洛必達法則求“”“”“”“”“”“”型未定式的極限的方法。熟練掌握利用導數判定函數單調性及求函數單調增、減區間的方法，會用函數的單調性證明簡單不等式。理解函數極值的概念。掌握求函數的極值和最值的方法，并會解簡單的應用問題。會判斷曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。會作簡單函數的圖形。理解函數的泰勒公式，泰勒公式的拉格朗日型余項，掌握幾個基本初等函數的泰勒公式。

(四)一元函數積分學

(1)理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質，了解原函數存在性定理。熟練掌握不定積分的基本公式。熟練掌握不定積分的第一換元法，掌握第二換元法。熟練掌握不定積分的分部積分法。會求簡單有理函數的不定積分。

(2)理解定積分的概念及其幾何意義，掌握定積分的積分和、上和、下和的概念，定積分可積的充分條件、必要條件和充要條件。掌握定積分的基本性質。掌握變上限定積分是變上限的函數，掌握對變上限定積分的求導方法。掌握牛頓---萊布尼茨公式。掌握定積分的換元積分法和分部積分法。掌握定積分在幾何計算平面圖形的面積、旋轉體的體積、曲線的弧長、旋轉曲面的面積、和物理上計算壓力、功、重心等簡單應用。

(五)無窮級數

(1)了解數項級數的概念，級數的收斂與發散，級數的基本知識，級數收斂的必要條件。熟練掌握正項級數斂散性的比較判別法和比值判別法。了解任意項級數、交錯級數、絕對收斂、條件收斂的概念。掌握交錯級數收斂的萊布尼茲判別法，了解阿貝爾和狄里克萊判別法。理解無窮限反常積分和無界函數反常積分的概念及幾何意義。掌握非負函數反常積分收斂性的比較判別法。

(2)了解冪級數、冪級數的收斂半徑、收斂區間的概念。了解冪級數在收斂區間內的性質(和、差、逐項求導、逐項積分)。掌握冪級數的收斂半徑、收斂區間的的求法。會運用基本初等函數的麥克勞林公式將一些簡單的初等函數展開為冪級數。

(六)多元函數微分學

了解平面點集，多元函數的定義，二元函數的定義域，二元函數的幾何意義，二元函數極限，累次極限，二元函數的連續性概念，有界閉區域上連續函數的性質。掌握偏導數、全微分的概念，可微性的幾何意義與應用。熟練掌握一階、二階偏導數的計算，掌握復合函數偏導數和全微分的計算。掌握方向導數，梯度的計算，了解隱函數定理，掌握隱函數及隱函數組的的微分的計算。掌握平面曲線的切線與法線 空間曲線的切線與法平面 曲面的切平面與法線的方程的計算。了解二元函數泰勒公式，熟練掌握二元函數的無條件極值的計算，掌握條件極值的拉格朗日乘數法。

(七)多元函數積分學

了解二重積分的概念、二重積分的可積條件、一般區域上的二重積分，熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算，掌握二重積分的換元法、含參量積分的導數。了解三重積分的概念，掌握直角坐標下化三重積分為累次積分。了解第一型曲線積分和第一型曲面積分的概念，掌握第一型曲線積分和第一型曲面積分的計算，了解第二型曲線積分和第二型曲面積分的概念，掌握第二型曲線積分和第二型曲面積分的計算。了解格林公式，曲線積分與路徑的無關性。了解高斯公式，知道斯托克斯公式。