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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《數(shù)學專業(yè)綜合》考試大綱

本《數(shù)學專業(yè)綜合》考試大綱適用于中國科學院大學碩士研究生入學考試。所涉及的復分析、拓撲基礎、實分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論都是大學數(shù)學系本科學生最基本的課程，也是大多數(shù)理工科專業(yè)學生的必修基礎課。要求考生熟悉復分析、拓撲基礎、實分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論等課程的基本概念、掌握基本定理、有較強的運算能力和綜合分析解決問題能力。

一、考試的基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解復分析、拓撲基礎、實分析、代數(shù)、微分幾何以及概率論等課程的基本概念和基本理論，掌握相應的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時間

數(shù)學綜合考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

《數(shù)學綜合考試試卷》試題分成六個部分，每一部分試題的分值和為90分，總值為540分。考生需在540分的試題中任意選做分值和不超過150分的試題并明確標示。如果選做試題的分值和超過150分，判卷將按照所選做試題的題號順序依次判卷直到所做題目分值和超過150分題目的前一題，后面所做試題視作無效考試內容。

三、 考試內容

(一) 復分析

1. 復數(shù)

2. 復函數(shù)

3. 解析函數(shù)的幾何性質

4. 復積分

5. 級數(shù)與乘積展開

6. 共性映射與Dirichlet問題

7. 橢圓函數(shù)(簡單介紹)

(二) 拓撲基礎

1. 引論. Euler定理，拓撲等價， 曲面，抽象空間，一個分類定理，拓撲不變量。

2. 拓撲空間及連續(xù)映射. 開集與閉集，連續(xù)映射，充滿空間的曲線，Tietze擴張定理

3. 拓撲空間的緊致性與連通性. 歐氏空間的有界閉集，Heine Borel定理，緊致空間，乘積空間，連通性道路連通性

4. 粘合空間. Mbius帶的制作，粘合拓撲，拓撲群，軌道空間

5. 拓撲空間的基本群. 同倫映射，拓撲空間的基本群，計算，同倫型，Brouwer不動點定理，平面的分離，曲面的邊界，復疊空間及其基本性質

6. 單純剖分. 空間的單純剖分，重心重分，單純逼近，復形的棱道群，軌道空間的單純剖分

7. 曲面. 分類，單純剖分與定向，Euler示性數(shù)，剜補運算，曲面符號

8. 單純同調. 閉鏈與邊緣，同調群，單純映射，輻式重分，不變性

9. 映射度與Lefschetz數(shù). 球面的連續(xù)映射，Euler Poincaré公式，Borsuk Ulam定理，Lefschetz不動點定理

(三) 實分析

1. 抽象積分. 可測函數(shù)、簡單函數(shù)及可積函數(shù)的基本概念，測度的基本性質，函數(shù)列的收斂性，勒貝格單調收斂定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理。

2. 正博雷爾(Borel)測度. 拓撲中的基本概念，Riesz表示定理，Borel 測度的正則性，Lebesgue 測度，可測函數(shù)的連續(xù)性，Lusin(魯金) 定理。

3. 空間. 凸函數(shù)，Jensen(詹森) 不等式， 空間中的重要不等式：如Holder 不等式，Minkowski 不等式， 函數(shù)列中的范數(shù)收斂與依測度收斂以及幾乎處處收斂之間的關系。

4. Hilbert空間的初等理論. 內積，平行四邊形法則，投影定理，正交基，傅立葉級數(shù)。

5. Banach空間技巧的例子. 賦范空間，貝爾定理及其推論， Hahn-Banach定理，Poisson 積分。

6. 復測度. 全變差，絕對連續(xù)性，Radon-Nikodym(拉東-尼柯迪姆) 定理極其推論, 空間上的有界線性泛函。

7. 微分. 測度的導數(shù)，Hardy-Littlewood 極大函數(shù)，微積分基本定理，可微變換。

8. 乘積空間的積分. 乘積空間的測度，F(xiàn)ubini定理，乘積測度的完備化，卷積，分布函數(shù)。

(四) 代數(shù)

1. 群論

2. 環(huán)與代數(shù)、模論

3. 范疇論初步、泛代數(shù)

4. 域論與Galois理論

5. 表示理論基礎

(五) 微分幾何

1. 空間區(qū)域的幾何坐標系. 歐氏空間，黎曼和偽黎曼空間，歐氏空間的變換群，弗萊納公式，偽歐幾里德空間

2. 曲面論. 空間曲面的幾何，第二基本型，球面的度量，偽歐幾里德空間中的類空曲面，幾何中的復語言，解析函數(shù)，曲面度量的共形形式

3. 高斯映射的幾何. 高斯映射以及基本性質，局部坐標下的高斯映射，向量場，極小曲面

4. 內蘊幾何. 等距，共形變換，測地線，平行移動，指數(shù)映射，測地極坐標

5. 變分法. 一維變分問題，守恒定律，哈密頓系統(tǒng)，相空間的幾何理論，測地方程的二階變分

(六) 概率論

1. 隨機事件與概率. 隨機現(xiàn)象與統(tǒng)計規(guī)律性，樣本空間，隨機事件及其運算，古典概率，幾何概率，概率空間，概率的公理化結構

2. 條件概率與事件的獨立性. 條件概率與乘法公式，全概率公式，Bayes公式，事件的獨立性，獨立重復試驗，Bernoulli試驗

3. 隨機變量及其分布. 隨機變量及其分布(離散型，連續(xù)型)，多維隨機變量及其分布(離散型，連續(xù)型)，條件分布與隨機變量的獨立性，隨機變量的函數(shù)及其分布

4. 隨機變量的數(shù)字特征. 數(shù)學期望與方差，矩，協(xié)方差與相關系數(shù)，熵與信息量，條件期望與最優(yōu)預測，母函數(shù)，Laplace變換, 矩母函數(shù)，特征函數(shù)

5. 極限定理. 隨機變量的收斂性，弱大數(shù)定律，強大數(shù)定律，中心極限定理

6. 隨機過程初步. 隨機過程及其有限維分布族，獨立增量過程, 平穩(wěn)增量過程，二階矩過程，正交增量過程，Gauss過程, Brown運動，Poisson過程，離散時間Markov鏈初步，平穩(wěn)過程及其遍歷論初步

7. 隨機模擬. Monte Carlo方法與隨機數(shù)的產(chǎn)生，隨機變量的模擬(離散型，連續(xù)型)，Markov鏈的模擬，積分的近似計算

四、主要參考書目

1. 《復分析》原書第三版，Lars V. Ahlfors，機械工業(yè)出版社。

2. 《基礎拓撲學》，M.A.Armstrong ，孫以豐譯，北京大學出版社。

3. 《Real and Complex Analysis》，Walter Rudin.《實分析與復分析》(英文版第3版)，機械工業(yè)出版社，2006。

4. 《代數(shù)學引論》第三卷(第二版)，柯斯特利金，高等教育出版社，2007。

5. 《現(xiàn)代幾何學：方法與應用(第一卷)---曲面幾何，變換群與場》，杜布洛文，諾維可夫，福明柯，高等教育出版社。

6. 《A First Course in Probability》(9th Ed.), Sheldon M.Ross ,Pearson, 2012. 中文版《概率論基礎教程》為童行偉，梁寶生譯，機械工業(yè)出版社，2014。