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中國科學院大學碩士研究生入學考試

高等數學(丙)考試大綱

考 試 性 質

中國科學院大學碩士研究生入學高等數學(丙)考試是為招收理學非數學專業碩士研究生而設置的選拔考試。它的主要目的是測試考生的數學素質，包括對高等數學各項內容的掌握程度和應用相關知識解決問題的能力。考試對象為參加全國碩士研究生入學考試、并報考化學、生態學等專業的考生。

二、考試的基本要求

要求考生系統地理解高等數學的基本概念和基本理論，掌握高等數學的基本方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、數學運算能力和綜合運用所學的知識分析問題和解決問題的能力。

三、考試方法和考試時間

高等數學(丙)考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時間為180分鐘。

四、考試內容和考試要求

(一)函數、極限、連續

考試內容

函數的概念及表示法 函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 復合函數、反函數、分段函數和隱函數 基本初等函數的性質及其圖形

數列極限與函數極限的概念 無窮小和無窮大的概念及其關系 無窮小的性質及無窮小的比較 極限的四則運算 極限存在的單調有界準則和夾逼準則 兩個重要極限：

 

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函數連續的概念 函數間斷點的類型 初等函數的連續性 閉區間上連續函數的性質

考試要求

1. 理解函數的概念，掌握函數的表示法，并會建立簡單應用問題中的函數關系式。

2. 理解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性。掌握判斷函數這些性質的方法。

3. 理解復合函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。會求給定函數的復合函數和反函數。

4. 掌握基本初等函數的性質及其圖形。

5. 理解極限的概念(包括數列極限和函數極限)，理解函數左極限與右極限的概念，以及函數極限存在與左、右極限之間的關系。

6. 掌握極限的性質及四則運算法則，會運用它們進行一些基本的判斷和計算。

7. 掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限。掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

8. 理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。

9. 理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型。

10. 掌握連續函數的運算性質和初等函數的連續性，熟悉閉區間上連續函數的性質(有界性、最大值和最小值定理、介值定理等)，并會應用這些性質。

(二)一元函數微分學

考試內容

導數的概念 導數的幾何意義和物理意義 函數的可導性與連續性之間的關系 平面曲線的切線和法線 基本初等函數的導數 導數的四則運算 復合函數、反函數、隱函數的導數的求法 參數方程所確定的函數的求導方法 高階導數的概念 高階導數的求法 微分的概念和微分的幾何意義 函數可微與可導的關系 微分的運算法則及函數微分的求法 一階微分形式的不變性 微分在近似計算中的應用 微分中值定理 洛必達(L’Hospital)法則 泰勒(Taylor)公式 函數的極值 函數最大值和最小值 函數單調性 函數圖形的凹凸性、拐點及漸近線 函數圖形的描繪

考試要求

1. 理解導數和微分的概念，理解導數與微分的關系，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，掌握函數的可導性與連續性之間的關系。

2. 掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則，掌握基本的求導方法。了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性，會求函數的微分。

3. 了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

4. 會求分段函數的一階、二階導數。

5. 會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數

6. 會求反函數的導數。

7. 理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理，掌握這四個定理的簡單應用。

8. 理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。

9. 會用導數判斷函數圖形的凹凸性，會求函數圖形的拐點以及水平、鉛直漸近線，會描繪函數的圖形。

10. 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

(三)一元函數積分學

考試內容

原函數和不定積分的概念 不定積分的基本性質 基本積分公式 定積分的概念和基本性質 定積分中值定理 變上限定積分定義的函數及其導數 牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz)公式 不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法 有理函數、三角函數的有理式和簡單無理函數的積分 廣義積分(無窮限積分、瑕積分) 定積分的應用

考試要求

1. 理解原函數的概念，理解不定積分和定積分的概念。

2. 熟練掌握不定積分的基本公式，熟練掌握不定積分和定積分的性質及定積分中值定理。掌握牛頓-萊布尼茨公式。熟練掌握不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法。

3. 會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。

4. 理解變上限定積分定義的函數，會求它的導數。

5. 理解廣義積分(無窮限積分、瑕積分)的概念，掌握無窮限積分、瑕積分的收斂性判別法，會計算一些簡單的廣義積分。

6. 會利用定積分計算平面圖形的面積.旋轉體的體積和函數的平均值。

(四)多元函數微積分學

考試內容

多元函數的概念 二元函數的幾何意義 二元函數的極限和連續 有界閉區域上多元連續函數的性質 多元函數偏導數和全微分的概念及求法 多元復合函數、隱函數的求導法 二階偏導數的求法 多元函數的極值和條件極值 拉格朗日乘數法 多元函數的最大值、最小值及其簡單應用 全微分在近似計算中的應用 二重積分的概念及性質 二重積分的計算和應用

考試要求

1. 理解多元函數的概念、理解二元函數的幾何意義。

2. 了解二元函數的極限與連續性的概念及基本運算性質，了解有界閉區域上二元連續函數的性質。

3. 理解多元函數偏導數和全微分的概念，會求偏導數和全微分，掌握多元復合函數偏導數的求法，掌握隱函數的偏導數求法。

3. 理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會用拉格朗日乘數法求條件極值，會求簡單多元函數的最大值、最小值，并會解決一些簡單的應用問題。

4. 了解全微分在近似計算中的應用。

5.了解二重積分的概念與基本性質，掌握二重積分的計算方法(直角坐標.極坐標)。

(五)無窮級數

考試內容

常數項級數及其收斂與發散的概念 收斂級數的和的概念 級數的基本性質與收斂的必要條件 幾何級數與p級數及其收斂性 正項級數收斂性的判別法 交錯級數與萊布尼茨定理 任意項級數的絕對收斂與條件收斂 函數項級數的收斂域、和函數的概念 冪級數及其收斂半徑、收斂區間(指開區間)和收斂域 冪級數在其收斂區間內的基本性質 簡單冪級數的和函數的求法 泰勒級數 初等函數的冪級數展開式 函數的冪級數展開式在近似計算中的應用

考試要求

1. 理解常數項級數的收斂、發散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件

2. 掌握幾何級數與p級數的收斂與發散情況。

3. 掌握正項級數收斂性的各種判別法。

4. 了解任意項級數絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關系，掌握交錯級數的萊布尼茨判別法。

5. 了解函數項級數的收斂域及和函數的概念。

6. 理解冪級數的收斂域、收斂半徑的概念，并掌握冪級數的收斂半徑及收斂域的求法。

7. 了解冪級數在其收斂區間內的一些基本性質(和函數的連續性、逐項微分和逐項積分)，會求一些冪級數在收斂區間內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。

8. 掌握一些常見函數如ex、sin x、cos x、ln(1+x)和(1+x)α等的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

9. 會利用函數的冪級數展開式進行近似計算。

(六)常微分方程

考試內容

常微分方程的基本概念 變量可分離的微分方程 齊次微分方程 一階線性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 全微分方程 可用簡單的變量代換求解的某些微分方程 可降價的高階微分方程 線性微分方程解的性質及解的結構定理 二階常系數齊次線性微分方程 二階常系數非齊次線性微分方程 微分方程的簡單應用

考試要求

1. 了解微分方程及其階、解、通解、初始條件和特解等概念。

2. 掌握變量可分離的微分方程的解法，掌握解一階線性微分方程的常數變易法。

3. 會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換求解某些微分方程。

4. 會用降階法解下列方程：y(n) =f(x)，y″ =f(x，y′ )和y″ =f(y，y′ )

5. 理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。了解解二階非齊次線性微分方程的常數變易法。

6. 掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法。

7. 會解自由項為多項式、指數函數、正弦函數、余弦函數、以及它們的和與積的二階常系數非齊次線性微分方程。

8 會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

(七)行列式

考試內容

行列式的概念和基本性質　行列式按行(列)展開定理

考試要求

1.了解行列式的概念，掌握行列式的性質.

2.會應用行列式的性質和行列式按行(列)展開定理計算行列式.

(八)矩陣

考試內容

矩陣的概念　矩陣的線性運算　矩陣的乘法　方陣的冪　方陣乘積的行列式　矩陣的轉置　逆矩陣的概念和性質　矩陣可逆的充分必要條件　伴隨矩陣　矩陣的初等變換　初等矩陣　矩陣的秩　矩陣的等價 分塊矩陣及其運算

考試要求

1.理解矩陣的概念，了解單位矩陣、數量矩陣、對角矩陣、三角矩陣的定義及性質，了解對稱矩陣、反對稱矩陣及正交矩陣等的定義和性質.

2.掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置以及它們的運算規律，了解方陣的冪與方陣乘積的行列式的性質.

3.理解逆矩陣的概念，掌握逆矩陣的性質以及矩陣可逆的充分必要條件，理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求逆矩陣.

4.了解矩陣的初等變換和初等矩陣及矩陣等價的概念，理解矩陣的秩的概念，掌握用初等變換求矩陣的逆矩陣和秩的方法.

5.了解分塊矩陣的概念，掌握分塊矩陣的運算法則.

(九)向量

考試內容

向量的概念　向量的線性組合與線性表示　向量組的線性相關與線性無關　向量組的極大線性無關組 等價向量組　向量組的秩　向量組的秩與矩陣的秩之間的關系 向量的內積

考試要求

1.了解向量的概念，掌握向量的加法和數乘運算法則.

2.理解向量的線性組合與線性表示、向量組線性相關、線性無關等概念，掌握向量組線性相關、線性無關的有關性質及判別法.

3.了解向量組的極大線性無關組的概念和向量組秩的概念，會求向量組的極大線性無關組及秩.

4.理解向量組等價的概念，理解矩陣的秩與其行(列)向量組的秩之間的關系.

5.了解內積的概念.掌握向量內積的運算.

(十)線性方程組

考試內容

線性方程組的克萊姆(Cramer)法則　線性方程組有解和無解的判定　齊次線性方程組的基礎解系和通解 非齊次線性方程組的解與相應的齊次線性方程組(導出組)的解之間的關系　非齊次線性方程組的通解

考試要求

1.會用克萊姆法則解線性方程組.

2.掌握非齊次線性方程組有解和無解的判定方法.

3.理解齊次線性方程組的基礎解系的概念，掌握齊次線性方程組的基礎解系和通解的求法.

4.了解非齊次線性方程組有解的條件，理解非齊次線性方程組解的結構及通解的概念.

5.掌握用初等行變換求解線性方程組的方法.

(十一)矩陣的特征值和特征向量

考試內容

矩陣的特征值和特征向量的概念、性質　相似矩陣的概念及性質　矩陣可對角化的充分必要條件　實對稱矩陣的特征值和特征向量及相似對角矩陣

考試要求

1.理解矩陣的特征值、特征向量的概念，掌握矩陣特征值的性質，掌握求矩陣特征值和特征向量的方法.

2.理解矩陣相似的概念，掌握相似矩陣的性質，了解矩陣可相似對角化的充分必要條件，掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法.

3.掌握實對稱矩陣的特征值和特征向量的性質.

五、主要參考文獻

[1]《高等數學》第六版(上、下冊)，同濟大學數學系主編，高等教育出版社，2007年。

[2]《線性代數》第五版，同濟大學數學系主編，高等教育出版社，2007年。