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中國科學(xué)院大學(xué)碩士研究生入學(xué)考試

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

本《數(shù)學(xué)分析》考試大綱適用于中國科學(xué)院大學(xué)數(shù)學(xué)和系統(tǒng)科學(xué)等學(xué)科各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試。數(shù)學(xué)分析是一門具有公共性質(zhì)的重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，由分析基礎(chǔ)、一元微分學(xué)和積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元微分學(xué)和積分學(xué)等部分組成。要求考生能準(zhǔn)確理解基本概念，熟練掌握各種運(yùn)算和基本的計(jì)算、論證技巧，具有綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。

一、考試基本要求

要求考生比較系統(tǒng)地理解數(shù)學(xué)分析的基本概念和基本理論，掌握數(shù)學(xué)分析的基本思想和方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)分析問題和解決問題的能力。

二、考試方法和考試時(shí)間

數(shù)學(xué)分析考試采用閉卷筆試形式，試卷滿分為150分，考試時(shí)間為180分鐘。

三、考試內(nèi)容和考試要求

(一)考試內(nèi)容

1. 分析基礎(chǔ)

(1) 實(shí)數(shù)概念、確界

(2) 函數(shù)概念

(3) 序列極限與函數(shù)極限

(4) 無窮大與無窮小

(5) 上極限與下極限

(6) 連續(xù)概念及基本性質(zhì)，一致連續(xù)性

(7)收斂原理

2. 一元微分學(xué)

(1) 導(dǎo)數(shù)概念及幾何意義

(2) 求導(dǎo)公式求導(dǎo)法則

(3) 高階導(dǎo)數(shù)

(4) 微分

(5) 微分中值定理

(6) L’Hospital法則

(7) Taylor公式

(8) 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)

3. 一元積分學(xué)

(1) 不定積分法與可積函數(shù)類

(2) 定積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算

(3) 定積分的應(yīng)用

(4) 廣義積分

4. 級(jí)數(shù)

(1) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散判別與性質(zhì)

(2) 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與一致收斂性

(3) 冪級(jí)數(shù)

(4) Fourier級(jí)數(shù)

5. 多元微分學(xué)

(1) 歐氏空間

(2) 多元函數(shù)的極限

(3) 多元連續(xù)函數(shù)

(4) 偏導(dǎo)數(shù)與微分

(5) 隱函數(shù)定理

(6) Taylor公式

(7) 多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用

(8) 多元函數(shù)的極值

6. 多元積分學(xué)

(1) 重積分的概念與性質(zhì)

(2)重積分的計(jì)算

(3)二重、三重廣義積分

(4)含參變量的正常積分和廣義積分

(5)曲線積分與Green公式

(6)曲面積分

(7)Gauss公式、Stokes公式及線積分與路徑無關(guān)

(8)場(chǎng)論初步

(二)考試要求

1.分析基礎(chǔ)

(1) 了解實(shí)數(shù)公理，理解上確界和下確界的意義。掌握絕對(duì)值不等式及平均值不等式。

(2) 熟練掌握函數(shù)概念(如定義域、值域、反函數(shù)等)。

(3) 掌握序列極限的意義、性質(zhì)(特別，單調(diào)序列的極限存在性定理)和運(yùn)算法則，熟練掌握求序列極限的

方法。

 

(4) 掌握函數(shù)極限的意義、性質(zhì)和運(yùn)算法則(自變量趨于有限數(shù)和趨于無限兩種情形)，熟練掌握求函數(shù)極限的

方法，了解廣義極限和單側(cè)極限的意義。

 

(5) 熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法(如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等)，掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧，以及應(yīng)用Stolz公式求序列極限的方法。

(6) 理解無窮大量和無窮小量的意義，了解同階和高(低)階無窮大(小)量的意義。

(7) 了解上極限和下極限的意義和性質(zhì)。

(8) 熟練掌握函數(shù)在一點(diǎn)及在一個(gè)區(qū)間上連續(xù)的概念，理解函數(shù)兩類間斷點(diǎn)的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解區(qū)間套定理和介值定理。理解一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。

(9) 掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限(當(dāng)自變量趨于有限數(shù)及趨于無窮兩種情形)存在的充分必要條件。

2.一元微分學(xué)

(1) 掌握導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，了解單側(cè)導(dǎo)數(shù)的意義，解依據(jù)定義求函 數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。

(2) 解應(yīng)用求導(dǎo)公式和法則熟練計(jì)算函數(shù)導(dǎo)數(shù)(包括用參數(shù)式給出的函數(shù)的導(dǎo)數(shù))、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。

(3) 理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分的不變性，能利用微分作近似計(jì)算。

(4) 理解并掌握微分中值定理(Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理)，并能應(yīng)用它們解決函數(shù)零點(diǎn)存在性及不等式證明等問題。

(5) 熟練掌握應(yīng)用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。

(6) 理解Taylor公式(Lagrange余項(xiàng)和Peano余項(xiàng))的意義，并熟記五個(gè)基本公式(

在x=0點(diǎn)的帶有Peano余項(xiàng)的Taylor公式)，能將給定函數(shù)在指定點(diǎn)展成Taylor級(jí)數(shù)，掌握應(yīng)用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問題的基本技巧。

 

(7) 熟練掌握應(yīng)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫出函數(shù)圖像的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。

3.一元積分學(xué)

(1) 理解不定積分概念和基本性質(zhì)，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，解應(yīng)用他們熟練計(jì)算不復(fù)雜的不定積分。

(2) 了解可積分函數(shù)類的意義及其積分法，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡(jiǎn)單的根式的有理式的積分方法。

(3) 理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質(zhì)及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計(jì)算方法。了解變限定積分的性質(zhì)，掌握積分中值定理。

(4) 熟練應(yīng)用定積分計(jì)算平面曲線弧長、平面圖形面積、立體體積、旋轉(zhuǎn)曲面表面積，并解應(yīng)用于求均勻平面圖形重心坐標(biāo)等簡(jiǎn)單物理、力學(xué)問題。

(5) 理解廣義積分及其收斂、絕對(duì)收斂和發(fā)散的意義，掌握廣義積分收斂的判定法則。

4.級(jí)數(shù)

(1) 掌握數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散和絕對(duì)收斂的概念、級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件(Cauchy準(zhǔn)則)，收斂和絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)以及級(jí)數(shù)加法和乘法的運(yùn)算法則。

(2) 熟練掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法(比較判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法)，掌握一般項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別方法。能計(jì)算一些特殊數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。

(3) 理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的意義并能確定其收斂域。理解函數(shù)序列一致收斂以及函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法則(Cauchy一致收斂準(zhǔn)則，Weierstrass判別法，Abel判別法，Dirichlet判別法)及一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)。

(4) 理解冪級(jí)數(shù)的概念并能確定其收斂半徑。掌握冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和運(yùn)算法則，熟記五個(gè)基本冪級(jí)數(shù)展開式(

)。能求出給定函數(shù)在指定點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開式及應(yīng)用冪級(jí)數(shù)運(yùn)算求一些級(jí)數(shù)的和。

 

(5) 理解函數(shù)Fourier展開式的意義，掌握求Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級(jí)數(shù)的收斂性定理、逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)求導(dǎo)定理以及Parseval等式，并能應(yīng)用Fourier級(jí)數(shù)求某些級(jí)數(shù)的和(例如

)。

 

5.多元微分學(xué)

(1) 理解歐氏空間的概念及歐氏空間中向量的內(nèi)積與模、開集與閉集、開區(qū)域與閉區(qū)域的意義，了解完備性定理及緊性定理。

(2) 理解多元函數(shù)的概念。掌握多元函數(shù)的全面極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能根據(jù)定義計(jì)算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計(jì)算多元函數(shù)的全面極限和累次極限。

(3) 理解多元連續(xù)函數(shù)的概念，掌握其性質(zhì)，并能判斷多元函數(shù)的連續(xù)性。了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。

(4) 理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握其計(jì)算法則，能熟練計(jì)算函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，能計(jì)算函數(shù)在給定方向上的導(dǎo)函數(shù)。

(5) 理解多元函數(shù)的微分的概念，并能判斷函數(shù)的可微性。

(6) 理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。

(7) 理解Taylor公式的意義，并能求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。

(8) 能應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)求空間曲線的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。

(9) 理解多元函數(shù)的極限和最值的意義、極值的必要條件和充分條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實(shí)際問題。

6.多元積分學(xué)

(1) 理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質(zhì)。

(2) 掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法(特別，平面極坐標(biāo)變換，空間柱坐標(biāo)和球坐標(biāo)變換)，能熟練計(jì)算二重和三重積分，并用于計(jì)算平面圖形面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍的立體體積。了解n重(n>3)積分的計(jì)算方法(化為累次積分及變量代換)。

(3) 了解二重、三重廣義積分的意義(無界域情形和不連續(xù)函數(shù)情形)，掌握它們的基本判斂法和基本計(jì)算方法。

(4) 了解含參變量的正常積分的基本性質(zhì)(連續(xù)性，積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)和求積分)，了解含參變量的廣義積分一致收斂性的意義及其基本性質(zhì)(連續(xù)性，積分號(hào)下取極限、求導(dǎo)及求積分)，掌握其一致收斂判別法，了解和

函數(shù)。

 

(5) 理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲線積分。

(6) 理解并掌握Green公式的意義，并能應(yīng)用它計(jì)算曲線積分。

(7) 理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質(zhì)、實(shí)際背景及二者的聯(lián)系，能熟練計(jì)算曲面積分。

(8) 理解并掌握Gauss公式和Stokes公式的意義，并能用于曲面積分或曲線積分的計(jì)算。了解空間曲線積分與路徑無關(guān)的充分必要條件及其對(duì)曲線積分計(jì)算的應(yīng)用。

(9) 了解場(chǎng)的概念和保守場(chǎng)的意義，能計(jì)算場(chǎng)的梯度、散度和旋度。

四、參考書目

現(xiàn)行(公開發(fā)行)綜合性大學(xué)(師范大學(xué))數(shù)學(xué)系用數(shù)學(xué)分析教程。