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中國科學院大學碩士研究生入學考試

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》考試大綱

本《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》考試大綱適用于中國科學院大學非數(shù)學類的碩士研究生入學考試。概率統(tǒng)計是現(xiàn)代數(shù)學的重要分支，在物理、化學、生物、計算機科學等學科有著廣泛的應用�？荚嚨闹饕獌�(nèi)容有以下幾個部分：

概率統(tǒng)計中的基本概念

隨機變量及其分布

隨機變量的數(shù)學特征及特征函數(shù)

獨立隨機變量和的中心極限定理及大數(shù)定律

假設(shè)檢驗

點估計及區(qū)間估計

簡單線性回歸模型

要求考生對基本概念有深入的理解，能計算一些常見分布的期望、方差，了解假設(shè)檢驗、點估計及區(qū)間估計的統(tǒng)計意義，能解決一些經(jīng)典模型的檢驗問題、區(qū)間估計及點估計。最后，能理解大數(shù)定律及中心極限定理。

一、 考試內(nèi)容

(一) 基本概念

1. 樣本、樣本觀測值

2. 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的直觀描述方法：如干葉法、直方圖

3. 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的數(shù)字描述：樣本均值、樣本方差、中位數(shù)事件的獨立性、樣本空間、事件

4. 概率、條件概率、Bayes公式

5. 古典概型

(二) 離散隨機變量

1. 離散隨機變量的定義

2. 經(jīng)典的離散隨機變量的分布

a. 二項分布

b. 幾何分布

c. 泊松分布

d. 超幾何分布

3. 離散隨機變量的期望、公差

4. 離散隨機變量的特征函數(shù)

5. 離散隨機變量相互獨立的概念

6. 二維離散隨機變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及二個離散隨機變量的相關(guān)系數(shù)

(三) 連續(xù)隨機變量

1. 連續(xù)隨機變量的概念

2. 密度函數(shù)

3. 分布函數(shù)

4. 常見的連續(xù)分布

a. 正態(tài)分布

b. 指數(shù)分布

c. 均勻分布

d. t分布

e. c2分布

5. 連續(xù)隨機變量的期望、方差

6. 連續(xù)隨機變量獨立的定義

7. 二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續(xù)隨機變量的相關(guān)系數(shù)

8. 連續(xù)隨機變量的特征函數(shù)

(四) 獨立隨機變量和的中心極限定理和大數(shù)定律

1. 依概率收斂

2. 以概率1收斂(或幾乎處處收斂)

3. 依分布收斂

4. 伯努利大數(shù)定律

5. 利莫弗-拉普拉斯中心極限定理

6. 辛欽大數(shù)定律

7. 萊維-林德伯格中心極限定理

(五) 點估計

1. 無偏估計，克拉美-勞不等式

2. 矩估計

3. 極大似然估計

(六) 區(qū)間估計

1. 置信區(qū)間的概念

2. 一個正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間

3. 大樣本區(qū)間估計

4. 兩個正態(tài)總體期望之差的置信區(qū)間(方差已知)

(七) 假設(shè)檢驗

1. 檢驗問題的基本要素：第一類錯誤的概率、第二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數(shù)、檢驗的拒絕域、原假設(shè)、備擇假設(shè)

2. 一個正態(tài)總體的期望的檢驗問題

3. 大樣本檢驗

4. 基于成對數(shù)據(jù)的檢驗(t檢驗)

5. 兩個正態(tài)總體期望之差的檢驗

(八) 簡單線性回歸模型

1. 簡單線性回歸模型定義

2. 回歸線的斜率的最小二乘估計

3. 回歸線的截距的最小二乘估計

4. 隨機誤差(隨機標準差)的估計

二、 考試要求

(一) 基本概念

1. 理解樣本、樣本觀測值的概念

2. 了解并能運用統(tǒng)計數(shù)據(jù)的直觀描述方法如：干葉法、直方圖

3. 理解樣本均值、樣本方差及中位數(shù)的概念并能運用相關(guān)公式進行計算

4. 掌握如下概念：概率、樣本空間、事件、事件的獨立性、條件概率，理解并能靈活運用Bayes 公式

5. 理解古典概型的定義并能熟練解決這方面的問題

(二) 離散隨機變量

1. 理解離散隨機變量的定義

2. 理解如下經(jīng)典離散分布所產(chǎn)生的模型

a. 二項分布

b. 幾何分布

c. 泊松分布

d. 超幾何分布

能熟練計算上述分布的期望、方差，能熟練應用上述分布求出相應事件的概率

3. 了解離散隨機變量的特征函數(shù)的定義和性質(zhì)

4. 了解兩個離散隨機變量相互獨立的概念

5. 理解二維離散隨機變量的聯(lián)合分布、條件分布、邊緣分布及兩個離散隨機變量的相關(guān)系數(shù)的概念并能熟練運用相關(guān)的公式解決問題

(三) 連續(xù)隨機變量

1. 理解連續(xù)隨機變量的概念

2. 理解密度與分布的概念及其關(guān)系

3. 熟悉如下常用連續(xù)分布

a. 正態(tài)分布

b. 指數(shù)分布

c. 均勻分布

d. t分布

e. c2分布

4. 了解連續(xù)分布的期望、方差的概念

5. 了解有限個連續(xù)隨機變量相互獨立的概念

6. 理解二維連續(xù)隨機變量的聯(lián)合密度、條件密度、邊緣分布及二個連續(xù)隨機變量的相關(guān)系數(shù)并能運用相關(guān)公式進行計算

7. 了解連續(xù)隨機變量的特征函數(shù)的概念及性質(zhì)

(四) 獨立隨機變量和的中心極限定理和大數(shù)定律

1. 了解依概率收斂、以概率1收斂(或幾乎處處收斂)、依分布收斂的定義，了解上述收斂性的關(guān)系

2. 理解并掌握伯努利大數(shù)定律和利莫弗-拉普拉斯中心極限定理

3. 了解辛欽大數(shù)定律、萊維-林德伯格中心極限定理

(五) 點估計

1. 理解無偏估計、矩估計、極大似然估計

2. 能夠計算參數(shù)的矩估計、極大似然估計

(六) 區(qū)間估計

1. 理解置信區(qū)間的概念

2. 能夠計算正態(tài)總體的期望的置信區(qū)間(包括方差已知、方差未知兩種情況)

3. 在樣本容量充分大的條件下，能夠計算近似置信區(qū)間

4. 能夠計算兩個正態(tài)總體的期望之差的置信區(qū)間(方差已知)

(七) 假設(shè)檢驗

1. 理解以下概念：第一、二類錯誤的概率、檢驗的功效、功效函數(shù)、檢驗的拒絕域、檢驗的原假設(shè)、備擇假設(shè)

2. 能給出一個正態(tài)總體的期望的檢驗的拒絕域(包括方差已知、方差未知)

3. 能用大樣本方法求拒絕域

4. 能給出基于成對數(shù)據(jù)的檢驗問題的拒絕域

(八) 簡單線性回歸模型

1. 理解簡單線性回歸模型定義，能寫出模型的數(shù)學表達式

2. 能計算回歸線的斜率、截距的最小二乘估計

3. 了解隨機誤差(隨機標準差)的估計

三、 參考書

1. 陳希孺，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，科學出版社，中國科技大學出版社， 1999

2. 盛驟，謝式千，潘承毅，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社(第三版)，2001

3. 劉光祖，概率論與應用數(shù)理統(tǒng)計，高等教育出版社，2000