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2016考研線性代數重點之特征值與二次型
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樓主
矩陣的特征值與特征向量問題以及二次型的標準化問題均是考研數學中的重要常考點，為了幫助考生在暑假期間更有效地復習這兩個章節的知識，下面特撰寫此文來講解矩陣的特征值與特征向量問題以及二次型的標準化問題。
一、矩陣的特征值與特征向量問題 矩陣的特征值與特征向量這一章節的內容可以歸結為三大問題： http://photocdn.sohu.com/20150930/mp33966532_1443592253222_2.png http://photocdn.sohu.com/20150930/mp33966532_1443592253222_3.png 二、二次型 二次型這一章節主要研究兩個方面的問題： 1、二次型的標準化問題 二次型的標準化問題與矩陣的對角化問題緊密相連，因此化二次型為標準形的問題就轉化成了實對稱矩陣的相似對角化問題。化二次型為標準形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來看，利用正交變化法化二次型為標準形是考研線性代數考查的重要方向，但是其實質就是實對稱矩陣的正交相似對角化問題，也就是說實二次型的標準化問題與實對稱矩陣的正交相似對角化問題是同一問題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現的，因此掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化那么實二次型的標準化問題也就迎刃而解了。另外，在沒有其他要求的情況下，利用配方法得到標準形可能更方便一些。本章節的內容除了會以大題的形式出現外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標準形等概念、二次型的規范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點主要出現在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數值型二次型;二是抽象的二次型。對于具體的數值型二次型來說，一般可通過判斷其順序主子式是否全部大于零來判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過利用其標準形、規范形中的系數是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當然二次型的正定性判斷問題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件的基礎之上的。 |
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沙發
1、二次型的標準化問題 二次型的標準化問題與矩陣的對角化問題緊密相連，因此化二次型為標準形的問題就轉化成了實對稱矩陣的相似對角化問題。化二次型為標準形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來看，利用正交變化法化二次型為標準形是考研線性代數考查的重要方向，但是其實質就是實對稱矩陣的正交相似對角化問題，也就是說實二次型的標準化問題與實對稱矩陣的正交相似對角化問題是同一問題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現的，因此掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化那么實二次型的標準化問題也就迎刃而解了。另外，在沒有其他要求的情況下，利用配方法得到標準形可能更方便一些。本章節的內容除了會以大題的形式出現外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標準形等概念、二次型的規范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點主要出現在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數值型二次型;二是抽象的二次型。對于具體的數值型二次型來說，一般可通過判斷其順序主子式是否全部大于零來判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過利用其標準形、規范形中的系數是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當然二次型的正定性判斷問題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件的基礎之上的。 |
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3樓
1、二次型的標準化問題 二次型的標準化問題與矩陣的對角化問題緊密相連，因此化二次型為標準形的問題就轉化成了實對稱矩陣的相似對角化問題。化二次型為標準形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來看，利用正交變化法化二次型為標準形是考研線性代數考查的重要方向，但是其實質就是實對稱矩陣的正交相似對角化問題，也就是說實二次型的標準化問題與實對稱矩陣的正交相似對角化問題是同一問題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現的，因此掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化那么實二次型的標準化問題也就迎刃而解了。另外，在沒有其他要求的情況下，利用配方法得到標準形可能更方便一些。本章節的內容除了會以大題的形式出現外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標準形等概念、二次型的規范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點主要出現在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數值型二次型;二是抽象的二次型。對于具體的數值型二次型來說，一般可通過判斷其順序主子式是否全部大于零來判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過利用其標準形、規范形中的系數是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當然二次型的正定性判斷問題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件的基礎之上的。 |
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1、二次型的標準化問題 二次型的標準化問題與矩陣的對角化問題緊密相連，因此化二次型為標準形的問題就轉化成了實對稱矩陣的相似對角化問題。化二次型為標準形有兩種方法：一是正交變換法;二是配方法。從歷年考題來看，利用正交變化法化二次型為標準形是考研線性代數考查的重要方向，但是其實質就是實對稱矩陣的正交相似對角化問題，也就是說實二次型的標準化問題與實對稱矩陣的正交相似對角化問題是同一問題的兩種不同的提法，并且這兩種不同的提法在歷年考研真題的大題中是交替出現的，因此掌握了實對稱矩陣的正交相似對角化那么實二次型的標準化問題也就迎刃而解了。另外，在沒有其他要求的情況下，利用配方法得到標準形可能更方便一些。本章節的內容除了會以大題的形式出現外，二次型的矩陣表示、二次型的秩和標準形等概念、二次型的規范形和慣性定理也是填空題、選擇題中不可或缺的一部分。 2、二次型的正定性判斷 此處的考點主要出現在填空題或者選擇題中，一般考查的有兩種形式的二次型：一是具體的數值型二次型;二是抽象的二次型。對于具體的數值型二次型來說，一般可通過判斷其順序主子式是否全部大于零來判別二次型是否為正定二次型;而抽象的二次型的正定性判斷可以通過利用其標準形、規范形中的系數是否都大于0，或者特征值是否都大于0等得到證明，當然二次型的正定性判斷問題的順利解決是建立在熟悉二次型正定有關的充分條件和必要條件的基礎之上的。 |
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